たれぱんだグミ complete計画

99/7/24 --- 16種類/17回

祝！complete

99/7/24，午後2時過ぎ，世田谷区の某コンビニにて，ついに16種類目のたれぱんだを捕獲しました．16種類目はいたってノーマルなもの（番号で言うと10番）で，最後を飾るにふさわしい，いかにも「たれぱんだ的」な種類のものでした．

これをもちまして「たれぱんだグミ complete計画」は終了となります．情報を提供してくれたり，ともに喜んでくれたり，あるいは呆れてくれたりした皆様，どうもありがとうございました．実物が見たい方は，研究室まで来ていただければ，7月中は計算機のモニターの上に展示してあります．（その後は人にもらわれていきます．）

なお，「たれぱんだグミ complete計画」は今後更新する予定はありません．以下は以前書いていたよしなしごとですので，興味のある方だけご覧くださいませ．

たれぱんだグミ complete計画とは

たれぱんだというキャラクターを知っていますか？

サンエックス株式会社が生み出した，とてもかわいいパンダの「ような」キャラクターで，最近いろんな関連商品が出ています．その中の一つが，バンダイ株式会社から出ているたれぱんだグミ．

これにはおまけとして人形が付いてくるのですが，その種類が16種類．袋に入っていて，外からはどれが付いてくるのかはわかりません．これをすべて集めようというのが「たれぱんだグミ complete計画」です．

なお，当然と言うかなんと言うか，参加者は（6/18現在）僕しかいません．

どのくらい買えばいいのか

16種類の人形をすべて集めるのには，大体何個買ったらいいのか？結構楽に求まるかと思っていたのですが，とんでもなく大変で，結局シミュレーションに逃げてしまいました．とりあえず問題を簡単にするために，どの人形も同じ確率で買われるとします．つまり，商品を買った時にある種類の人形が入っている確率は1/16．

この仮定のもとで「16種類そろうまで買う」という計算を1000万回行いました．結果は以下の通り（表）．

表からもわかるのですが，16回でそろう確率はたったの0.00013%，ほぼ不可能ですね． 期待値（平均的な回数）は約54回になります．

なお，これを本当に定式化すると以下のようになります（協力：伊藤 公毅 氏）．

（n回目で16種類そろう確率） = (1/16)ⁿ×{1×15^n-1₁₆C₁₅ - 2×14^n-1₁₆C₁₄ + ... + (-1)^k+1×k×(16-k)^(n-1)₁₆C_16-k + ... + 15×1^n-1₁₆C₁}

Cというのは組み合わせの数を表す記号で，_aC_bと書くと「a個のものからb個を取り出す組み合わせの数」という意味で，次のような式で書き表されます．詳しいことは確率のお勉強をしてください．

_aC_b = a! / ((a-b)!×b!) （ただし，a! = a×(a-1)×(a-2)× ... ×3×2×1，また 0!=1）

重複せずに買えるのはどのくらい運が良いのか

n回買ったときにまだ一つも重複していない確率はどのくらいになるのでしょう．

この計算は上に比べるとずっと簡単です．1回目はもちろん重複していないから1．2回目は1回目に買ったの以外を買えばいいから15/16，3回目は「2回目に重複していない」うえで1回目とも2回目とも違うのを買えばいいから (15/16) × (14/16)．

一般にn回目は，「n-1回目まですべて重複していない」うえで「n-1回目までに買っていない17-n種類のうちの一つを買う」確率になります．

（n回目まで重複していない確率） = (16/16) × (15/16) × ... × (17-n)/16 = ₁₆P_n/16ⁿ

また違う記号が出てきましたが，Pというのは順列の数を表す記号です．_aP_bと書くと「a個のものからb個を取り出して並べる並べ方の数」という意味で，式で書くと次のようになります．

_aP_b = a! / (a-b)! （!の意味は上と同じ）

_aC_bとの違いは，並べるか並べないかということで，並べると順番が関係してくる分，数が大きくなります．

一方，n回目に初めて重複する確率（n-1回目まではいい調子だったのに・・・という確率）は，上と大体同じで，違うのはn回目にすでに買っているn-1種類のものから選んでしまうというところです．

（n回目に初めて重複する確率） = ₁₆P_n-1/16^n-1×(n-1)/16．

期待値（期待してないけど）は5.7くらい，大体6回買えば重複してしまうという感じですね．

現状

上ではどれも等確率であるという仮定をしましたが，実際は出にくいキャラクターもあるでしょう．また，袋の外から触ってみると，ある程度の見当は付けることができるので，持っているかどうかも（不確かながらも）少しはわかります．とりあえず，現在の状況は一番上に書いたとおりです．16種類そろったところで，このコーナーも閉鎖になります．

しかし，一番の問題は，売ってる所がなかなかないことなんですね・・・見かけた方はRETまでご一報ください．

参考

世の中にはTeao問題というものもあるらしいです．この場合12種類のものを集めることになるらしい．興味のある方は研究室の先輩である中野さんのサイトをご覧くださいませ．